La zone de baignade en bord d’océan

[ 🏁 ] Sylvain est moniteur de centre aéré en bord d’océan…

Il doit créer une zone de baignade rectangulaire à l’aide d’une ligne de bouchons de 60 mètres de longueur…

Il se demande quelle doit être la longueur AB du rectangle ABCD afin que la zone de baignade ainsi délimitée ait l’aire la plus grande possible...

[ 🏁 ] Comment pouvons-nous aider Sylvain afin qu’il propose la plus grande zone de baignade avec cette ligne de bouchons…

Le rectangle ABCD est de longueur L et de largeur l donc :

L + 2.l = 60 ⇔ 2.l = 60 - L ⇔ l = 30 - 0,5.L...

L’aire S du rectangle ABCD est telle que :

S = L.l ⇔ S = L.(30 - 0,5.L) ⇔ S = 30.L - 0,5.L²...

Aussi posons : S = y & L = x, alors S = L.(30 - 0,5.L) ⇔ y = x.(30 - 0,5.x)...

La relation algébrique ainsi obtenue est celle d’une fonction  du second degré f de la variable réelle x appartenant à l’intervalle J = [0 ; 60] telle que : f(x) = 30.x - 0,5.x²...

Rechercher la valeur maximale de cette fonction sur l’intervalle J revient à déterminer la longueur du rectangle ABCD qui produirait l’aire maximale pour la zone de baignade...

Pour atteindre cet objectif, il s’agit alors d’exprimer la dérivée f’ de la fonction f puis d’étudier son signe sur l’intervalle J…

La dérivée f’ de la fonction f est telle que : f’(x) = 30 - 2.0,5.x ⇔ f’(x) = 30 - x…

En conséquence, si x appartient à [0 ; 30[ alors f’(x) > 0 et donc f(x) est croissante...

En conséquence, si x appartient à ]30 ; 60] alors f’(x) < 0 et et donc f(x) est décroissante...

En conséquence, si x = 30 alors f’(x) = 0 et f(30) = MAXf(x)...

La représentation graphique ci-dessous réalisée à l’aide de la calculatrice de Windows 10 confirme ces résultats...

Ainsi l’aire de la zone de baignade est maximale quand la longueur AB du rectangle ABCD est de 30 m...

On a alors : L = 30 => l = 30 - 0,5.30 = 15 => S = 30.15 = 450 m²…

[ 🏁 ] Sylvain, vous proposerez l’aire maximale de la zone de baignade si votre rectangle mesure 30 mètres de long et donc 15 mètres de large…