Le chapiteau du cirque de Monsieur Circus

[ 🔨 ] Monsieur Circus vient de recevoir le nouveau chapiteau de son cirque...

Monsieur Circus veut en entamer le montage par la mise en place des 2 premiers mats verticaux AD & BC, hauts respectivement de 30 & 40 m...

Ces 2 premiers mats distants de 50 m sont maintenus à la verticale par 2 tringles d'acier de même longueur AE & BE fixées au sol en un unique point E...

[ 🔨 ]  Mais alors comment pouvons-nous aider Monsieur Circus à trouver la position exacte du point E...

Résumons la situation afin d'en clarifier la problèmatique...

AD = 30 m ; BC = 40 m ; DC = 50 m ; les 2 triangles ADE & BCE sont des triangles rectangles respectivement en D & C ; les hypoténuses de ces 2 triangles rectangles respectivement AE & BE sont de même longueur que l'on nommera "X" par commodité ; Positionner le point E de façon certaine revient à déterminer la longueur EC que l'on nommera "Y" par commodité encore...

Posons la relation de Pythagore dans le triangle rectangle ADE : X² = 30² + (50 - Y)²    [équation-1]...

Posons la relation de Pythagore dans le triangle rectangle BCE : X² = 40² + Y²    [équation-2]...  

On observe que le premier membre des équations 1 & 2 est égal à X² donc...

X² = 30² + (50 - Y)² = 40² + Y²    [équation-3]...

Développons l'identité remarquable (50 - Y)² du type (a - b)² = a² - 2 x a x b + b² soit...

[équation-3] <=> 30² + 50² - 2 x 50 x Y + Y² = 40² + Y² simplifiable par Y² soit...

[équation-3] <=> 30² + 50² - 100Y = 40² <=> 100Y = 30² + 50² - 40² <=> Y = (30² + 50² - 40²) / 100...

Effectuons le calcul : Y = (900 + 2500 - 1600) / 100 = 1800 / 100 = 18 m donc...

EC = 18 m...

[ 🔨 ]  Monsieur Circus, vous allez devoir arrimer vos 2 tringles d'acier au sol à 18 mètres du pied du mat de 40 mètres et en direction du mat de 30 mètres, seule condition pour que ces 2 mats se maintiennent à la verticale...

Effectuons une double vérification par application de la relation de Pythagore dans chacun des 2 triangles rectangles...

Dans ADE : 30² + (50 - 18)² = 30² + 32² = 1924...

Dans BCE : 40² + 18² = 1924...

[ 🔨 ]  Les carrés des 2 hypoténuses sont équivalents donc les 2 tringles d'acier sont effectivement de la même longueur...