Le mystère du nombre carrément carré

 [ ❓ ] Bonjour, je me présente...

Je suis un nombre à 4 chiffres qui est le carré d'un nombre et en même temps, les nombres formés par mes 2 premiers chiffres et par mes 2 derniers chiffres sont des carrés non nuls. On dit de moi que je suis carrément carré ; alors qui suis-je...

[ ❓ ] Comment pouvons-nous démasquer cet inconnu mystérieux...

L'inconnu mystérieux que nous noterons "N" affirme qu'il possède 4 chiffres et qu'il est le carré d'un nombre ; sachant que 31² = 961 et 32² = 1024 et que 99² = 9801 et 100² = 10000, nous en déduisons que "N" est supérieur ou égal à 32² et inférieur ou égal à 99²...

L'inconnu mystérieux affirme aussi que le nombre formé par ses 2 premiers chiffres est un carré non nul, soit un des nombres de la liste suivante : 16, 25, 36, 49, 64 et 81 sachant que 01, 04 et 09 sont exclus car sinon l'inconnu mystérieux ne posséderait que 3 chiffres...

L'inconnu mystérieux affirme encore que le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est un carré non nul, soit un des nombres de la liste suivante : 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64 et 81...

Si nous combinons les 2 listes précédentes, il y a : 6 x 9 = 54 candidats potentiels...

 [ ❓ ] Mais, pouvons-nous éviter le travail répétitif de les tester tous...

Oui, bien sûr si nous mettons en œuvre une des 3 identités remarquables de base telle que...

(A + B)² = A² + 2AB + B² et qui utilisée dans le contexte du démasquage de l'inconnu mystérieux est telle que : "A" est égal à un des nombres suivants : 30, 40, 50, 60, 70, 80 et 90 et telle que "B" est à son tour égal à un des nombres suivants : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sachant que 0 est exclus puisque l'inconnu mystérieux affirme que ses 2 derniers chiffres forment un carré non nul...

Cette technique va permettre de tester rapidement les différents candidats car la forme développée de l'identité remarquable nous restreint dans ce contexte par : 2AB + B² < 100 afin qu'il n'y ait aucune interaction possible entre les nombres des différentes listes...

32 est le premier candidat : 32² = (30 + 2)² avec A = 30 et B = 2...

Donc 2AB + B² = 2 x 30 x 2 + 2² = 124 > 100, ce n'est alors pas l'inconnu mystérieux et nous constatons déjà que "B" doit absolument être inférieur à 2 car lors du test du candidat suivant, nous aurons A = 40 > 30...

41 est le candidat suivant car il est inutile de tester 40, l'inconnu mystérieux affirmant que ces deux derniers chiffres forment un carré non nul : 41² = (40 + 1)² avec A = 40 et B = 1...

Donc 2AB + B² = 2 x 40 x 1 + 1² = 81 < 100, cette fois-ci la restriction imposée est vérifiée et nous pouvons calculer 41² = 1681 qui remplit l'ensemble des conditions dévoilées par l'inconnu mystérieux...

 [ ❓ ] Mais, l'inconnu mystérieux peut-il avoir d'autres identités...

51 est le troisième candidat : 51² = (50 + 1)² avec A = 50 et B = 1...

Donc 2AB + B² = 2 x 50 x 1 + 1² = 101 > 100, la restriction imposée n'est pas vérifiée et ne le sera pas non plus pour les candidats suivants pour lesquels désormais A > 50...

 [ ❓ ]  Inconnu mystérieux, vous êtes N = 1681 qui est le seul nombre de 4 chiffres à être carrément carré...