Le paradoxe du compte du temps de travail annuel

[ 💻 ] Un responsable des ressources humaines tient le discours suivant aux employés de l’entreprise...

Une année est constituée de 366 jours quand elle est bissextile et vous êtes présents sur votre poste de travail 8 heures par jour, soit le tiers du temps quotidien, ce qui fait 122 jours effectifs…

Chaque année est constituée de 52 semaines, il y a donc 52 dimanches et les samedis, vous travaillez une demi-journée : en journées travaillées tout au long de l’année, il reste alors  122 ₋ 52 ₋ 26 = 44 jours…

Vous bénéficiez de 5 semaines de congés payés : en journées travaillées tout au long de l’année, il reste encore 44 ₋ 5 × 7 = 9 jours…

Quand on réalise le décompte des jours fériés légaux avec le jour de l'An, le lundi de Pâques, la fête du Travail, le jeudi de l'Ascension, le lundi de Pentecôte, la fête Nationale, le jour de Toussaint et le jour de Noël : en journées travaillées tout au long de l’année, il reste maintenant un seul jour…

Donc un seul jour de travail, mais uniquement les années bissextiles, ce qui fait que trois années sur quatre vous ne faites rien...

De façon légitime, les employés ont le sentiment de travailler bien plus que cela et ils se demandent en quoi le raisonnement réalisé par le responsable des ressources humaines est inexact…

[ 💻 ] Mais comment le montrer...

Le raisonnement est faussé car certaines journées et, ou parties de journées sont décomptées plusieurs fois…

En effet quand il s’agit de comptabiliser les éléments d'une réunion d'ensembles non disjoints, c’est à dire ayant une partie commune, on doit soustraire le nombre d'éléments de la partie commune afin de ne pas les comptabiliser plusieurs fois…

Cette erreur courante est à l'origine de nombreuses énigmes…

[ 💻 ] Cela peut s’illustrer par un exemple simple…

Considérons les chiffres de 1 à 9, il s’agit de l’ensemble S qui pourrait être la transposition des 366 jours de l’année bissextile : S contient 9 éléments…

Considérons les chiffres pairs de 1 à 9, il s’agit de l’ensemble X qui pourrait être la transposition des samedis et dimanches inclus dans l’année bissextile : X contient 4 éléments…

Considérons les multiples de 3 entre 1 et 9, il s’agit de l’ensemble Y qui pourrait être la transposition des jours de congés payés : Y contient 3 éléments…

Considérons les multiples de 4 entre 1 et 9, il s’agit de l’ensemble Z qui pourrait être la transposition des jours fériés légaux : Z contient 2 éléments…

En suivant le raisonnement du responsable des ressources humaines de l’entreprise, si aux éléments de S, on retire les éléments de X, Y & Z, comme lui pour une année non bissextile on obtient 0, en effet : 9 ₋ 4 ₋ 3 ₋ 2 = 0…

Ce résultat est inexact car les chiffres 1, 5 & 7 qui sont entre 1 & 9 donc éléments de S ne sont ni des chiffres pairs, ni des multiples de 3, ni des multiples de 4…

[ 💻 ] La situation peut se schématiser comme suit…

Afin de  modéliser cette situation pour la généraliser, il nous faut ouvrir notre boîte à outils mathématiques pour y prélever les 3 aides suivants : le cardinal d’un ensemble noté “Card” qui est le décompte du nombre d’éléments contenus dans cette ensemble, la réunion de 2 ou plusieurs ensembles notée “∪” qui est le décompte des éléments appartenant à l’un ou l’autre de 2 ou plusieurs ensembles et l’intersection de 2 ou plusieurs ensembles notée “∩” qui est le décompte des éléments appartenant à l’un et l’autre de 2 ou plusieurs ensembles…

Afin de ne pas compter plusieurs fois les éléments qui appartiennent à 2 ou plusieurs ensemble, la loi mathématiques à appliquer est la suivante : Card(X∪Y∪Z) = CardX + CardY + CardZ − Card(X∩Y) − Card(X∩Z) − Card(Y∩Z)...

Cela revient à compter séparément les éléments de chacun des ensembles, à en faire la somme, puis à retirer de cette somme les éléments communs aux différents ensembles…

Appliquons la loi : Card(X∪Y∪Z) = 4 + 3 + 2 − 1 − 2 − 0 = 6…

Le nombre d’éléments restant s’obtient par la différence CardS − Card(X∪Y∪Z), soit en l'appliquant ici : CardS −  Card(X∪Y∪Z) = 9 − 6 = 3…

Il reste effectivement 3 éléments qui représentent dans notre exemple les jours travaillés et qui sont ici : 1, 5 & 7…

[ 💻 ] Maintenant, nous sommes à même de demander à l’entreprise de rectifier son raisonnement en appliquant la logique qui précède aux données de l’année en cours...